📚 Přehled vzorců

Základní nástroje pro řešení úloh.

ARITMETICKÁ POSLOUPNOST
an = a1 + (n-1)d

Sn = n2(a1 + an)
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST
an = a1 · qn-1

Sn = a1 · qn - 1q - 1
1. Aritmetická posloupnost
Je dána aritmetická posloupnost: a3 = 5 a a8 = 15.

Určete desátý člen a10 a součet prvních deseti členů S10.
POUŽITÉ VZORCE
ar = as + (r-s)d

Sn = n2(a1 + an)
1. Výpočet diference (d)
Použijeme vztah mezi dvěma členy:
15 = 5 + (8-3)d → 10 = 5d → d = 2
2. První člen (a1)
Dopočítáme z třetího členu:
5 = a1 + 2(2) → 5 = a1 + 4 → a1 = 1
VÝSLEDEK
Pro a10:
a10 = 1 + 9(2) = 19


Pro S10:
S10 = 102(1 + 19) = 5·20 = 100
2. Geometrická posloupnost
V geometrické posloupnosti je a5 = 32 a a8 = -256.

Určete a1 a součet S6.
POUŽITÉ VZORCE
ar = as · qr-s

Sn = a1 qn-1q-1
1. Kvocient (q)
-256 = 32 · q3 → q3 = -8 → q = -2
2. První člen (a1)
32 = a1 · (-2)4 → 32 = 16a1 → a1 = 2
VÝSLEDEK
S6 = 2 · (-2)6 - 1-3 = 2·(-21) = -42
3. Hledání n
Kolikátý člen v aritmetické posloupnosti je roven číslu 8, víte-li, že S12 = -102 a a1 = -25?
POUŽITÝ VZOREC
Sn = n2(a1 + an)
Výpočet a12
Známe S12, najdeme a12.
-102 = 6(-25 + a12) → -17 = -25 + a12
Odpověď
Vychází nám a12 = 8.

Odpověď: Je to 12. člen.
4. Výpočet a6
V geometrické posloupnosti je dáno q = -2, S6 = -21.
Určete a6.
POUŽITÉ VZORCE
Sn = a1 qn-1q-1
Výpočet a1
-21 = a1 · 63-3 → -21 = -21a1 → a1 = 1
Výsledek
a6 = 1 · (-2)5 = -32
5. Vzorec pro n-tý člen
Určete prvních šest členů posloupnosti:

an = (2n+1) / (n+1)
Prvních 6 členů
n=1: (2+1)/(1+1) = 3/2
n=2: (4+1)/(2+1) = 5/3
n=3: (6+1)/(3+1) = 7/4
n=4: (8+1)/(4+1) = 9/5
n=5: (10+1)/(5+1) = 11/6
n=6: (12+1)/(6+1) = 13/7
6. Schodiště
Schody mají šířku 45 cm. První schod (nejvyšší) má výšku 42 cm, každý další je o 0,5 cm nižší. Poslední má výšku 0,5 cm.

a) Vypočtěte vodorovnou vzdálenost d.
b) Vypočtěte výšku v celého schodiště.
ANALÝZA

Jde o aritmetickou posloupnost výšek.

a1 = 42
,
d = -0.5
1. Počet schodů (n)
Zjistíme, kolikátý člen je 0,5 (poslední schod).
0.5 = 42 + (n-1)(-0.5) → -41.5 = -0.5(n-1) → n = 84
a) Délka (d)
Prostý součet šířek (84 schodů × 45 cm).
d = 84 · 45 = 3780 cm
b) Výška (v)
Součet aritmetické řady (všech výšek).
v = 842(42 + 0.5) = 42·42.5 = 1785 cm
7. Kvadratická rovnice
V aritmetické posloupnosti je dáno:
an = 15, d = -12, Sn = 456.

Určete n a a1.
TIP

Vyjádřete si a1 pomocí n a dosaďte do vzorce pro součet. Vznikne kvadratická rovnice.

Rovnice
2n2 + 3n - 152 = 0
Kořeny: 8 a -9.5. Záporný nelze.
Výsledek
n = 8
a1 = 99
8. Kvocient
V geometrické posloupnosti platí:

a2 / 4 = 1/2 = 4 / a3

Jaký je kvocient?
DEFINICE KVOCIENTU
q = a3a2
Výsledek
Z první části: a2 = 2
Z druhé části: a3 = 8
q = 8/2 = 4
9. Slevy (Kocourkov)
Cena stroje 200 000 Kč se každý den sníží o pevné procento. Po 4. snížení je cena 81 920 Kč.

O kolik korun se cena snížila poprvé?
VZOREC PRO POKLES
an = a0 · (1 - p)n
1. Výpočet procenta
(1-x)4 = 81920200000 = 0.4096
Odmocnina ze 4: 1-x = 0.8 → x = 20%
Odpověď
První snížení je 20% z 200 000.
Pokles = 40 000 Kč

🔢 Simulace slev

10. Termínovaný účet
Podnik založil účet s vkladem 100 000 Kč (úrok 6,75 %).
Na konci 2. roku přidal 300 000 Kč. Úrok klesl na 6,2 %.

a) Kolik bude mít za 7 let?
b) Kdy bude mít více než 1 000 000 Kč?
SLOŽENÉ ÚROČENÍ
Kn = K0 · (1 + i)n
1. Fáze (2 roky)
100k · 1.06752 ≐ 113 956 Kč
Mezikrok (Vklad)
Přidáno 300 000 → Nový základ 413 956 Kč
a) Za 7 let
Od 2. do 7. roku uběhne 5 let.
413 956 · 1.0625 = 559 212 Kč
b) Kdy bude milion?
Hledáme n, kdy částka přesáhne 1M.
Vychází cca 15 let od druhého vkladu.
Celkem za 17 let (2 + 15).